Modelo de primer parcial A: enunciados y respuestas.
Ejercicio resuelto de modelos de parcial · Análisis Matemático 1
Resolución paso a paso
1) (20 pts) Enunciar y demostrar el teorema de Rolle (resuelto en la sección Teoría).
2) (15 pts) Hallar los puntos críticos de f(x) = x²/(x − 2).
Resultado: f′(x) = x(x − 4)/(x − 2)², con puntos críticos x = 0 (máximo local, f(0) = 0) y x = 4 (mínimo local, f(4) = 8).
3) (25 pts) Estudio completo de f(x) = x/(x² − 1).
Resultado: dominio ℝ − {−1, 1}, función impar, asíntotas verticales x = ±1 y horizontal y = 0, f′(x) = −(x² + 1)/(x² − 1)² < 0, decreciente en cada intervalo del dominio, sin extremos; inflexión en (0, 0); imagen ℝ.
4) (20 pts) Calcular lím x→0 (sen x − x)/x³ = −1/6 (L’Hôpital tres veces) y lím x→0⁺ x·ln x = 0.
5) (20 pts) Calcular ∫ x·e^(x²) dx = e^(x²)/2 + C.