Enunciar y demostrar el teorema del valor medio (Lagrange).
Ejercicio resuelto de teoría · Análisis Matemático 1
Resolución paso a paso
Enunciado: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe c en (a, b) tal que f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Dem: la recta secante por (a, f(a)) y (b, f(b)) es s(x) = f(a) + (f(b) − f(a))/(b − a)·(x − a).
Se define la función auxiliar g(x) = f(x) − s(x).
g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), por ser resta de f y de un polinomio.
Además g(a) = 0 y g(b) = 0.
Por el teorema de Rolle existe c en (a, b) con g′(c) = 0.
Como g′(x) = f′(x) − (f(b) − f(a))/(b − a), resulta f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Queda demostrado.