Análisis Matemático 1: ejercicios resueltos por tema
Elegí un tema y practicá con ejercicios resueltos paso a paso, en formato de apunte de cuaderno.
Límites
Indeterminaciones 0/0, límites en el infinito, límites notables y la forma 1^∞.
- Calcular lím x→2 (x² − 4)/(x − 2).
- Calcular lím x→0 sen(3x)/x.
- Calcular lím x→∞ (3x² + 2x)/(5x² − 1).
- Calcular lím x→0 (1 − cos x)/x².
- Calcular lím x→∞ (1 + 2/x)ˣ.
Derivadas
Reglas de derivación (producto, cociente, cadena), derivación logarítmica y recta tangente.
- Derivar f(x) = x² · eˣ.
- Derivar f(x) = ln(x² + 1).
- Derivar f(x) = (x² + 1)/(x − 1).
- Derivar f(x) = sen(x²).
- Hallar la recta tangente a f(x) = x³ − 2x en x = 1.
- Derivar f(x) = xˣ, para x > 0.
Aplicaciones
Extremos, crecimiento y decrecimiento, optimización y regla de l’hôpital.
- Hallar los extremos locales de f(x) = x³ − 3x.
- Entre todos los rectángulos de perímetro 20, hallar el de área máxima.
- Calcular lím x→0 (eˣ − 1 − x)/x² con L’Hôpital.
- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x³ − 3x².
Integrales
Integrales por sustitución y por partes, integral definida y área entre curvas.
- Calcular ∫ x · eˣ dx.
- Calcular ∫ de 0 a 1 de (3x² + 2x) dx.
- Calcular ∫ 2x/(x² + 1) dx.
- Calcular ∫ x·ln x dx.
- Calcular el área encerrada entre y = x e y = x².
Continuidad
Continuidad en un punto y cómo hallar parámetros en funciones definidas por tramos.
- Hallar k para que f sea continua en x = 1, con f(x) = (x² − 1)/(x − 1) si x ≠ 1 y f(1) = k.
- Hallar a para que f sea continua en x = 2, con f(x) = 3x + a si x < 2 y f(x) = x² − 1 si x ≥ 2.
Estudio de funciones
Dominio, asíntotas, extremos locales y absolutos, crecimiento y gráfica.
- Hallar los extremos absolutos de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 en el intervalo [0, 4].
- Hallar dominio y asíntotas de f(x) = (x² − 4)/(x − 1).
Integrales impropias
Integrales impropias de primera y segunda especie y convergencia.
- Calcular ∫ de 0 a ∞ de e^(−3x) dx.
- Calcular ∫ de 0 a 4 de dx/√x.
- ¿Para qué valores de p converge ∫ de 1 a ∞ de dx/x^p?
Áreas entre curvas
Cálculo de áreas encerradas entre curvas.
- Calcular el área encerrada entre y = 6 − x² e y = x.
- Calcular el área limitada por y = x², y = 4 y el eje y.
- Calcular el área entre y = x², y = 1/x y la recta x = 2.
Series numéricas
Series geométricas, criterios de leibniz, comparación y d’alembert, convergencia absoluta y condicional.
- Hallar la suma de la serie Σ (n desde 1) de 5/4^n.
- Estudiar la convergencia de Σ (n desde 1) de (−1)^(n+1)·n/(n² + 1). Indicar si es absoluta o condicional.
- Estudiar la convergencia de Σ (n desde 1) de 3^n/n! con el criterio del cociente.
Series de potencias
Radio e intervalo de convergencia.
- Hallar radio e intervalo de convergencia de Σ (n desde 1) de (x − 1)^n/(n·3^n).
- Hallar el radio de convergencia de Σ (n desde 0) de xⁿ/n!.
Taylor y Maclaurin
Polinomios de taylor y series de maclaurin.
- Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x) = √x centrado en a = 4.
- Hallar la serie de Maclaurin de f(x) = sen(x/3) y su radio de convergencia.
Integrales por sustitución
Cambio de variable en integrales de potencias, raíces y exponenciales.
- Calcular ∫ 4(2x − 1)^5 dx.
- Calcular ∫ √(3 − 2x) dx.
- Calcular ∫ x/(x² + 4)² dx.
- Calcular ∫ 3x²(1 − x³)^4 dx.
- Calcular ∫ 6e^(−3x) dx.
- Calcular ∫ 4/(3√(eˣ)) dx.
Teoría
Enunciados y demostraciones de los teoremas de rolle y de lagrange.
- Enunciar y demostrar el teorema de Rolle.
- Enunciar y demostrar el teorema del valor medio (Lagrange).
Modelos de parcial
Modelos de parcial con enunciados y respuestas.